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20世纪物理学的发展一度收获于数学器具的应用，而数学一直在独自前行。直到20世纪后半叶，弦论顺利股东了数学的发展，数学与物理学皆头并进，就像回到了科学的早期时间。无东说念主辩护数学能算作物理学跨越的基础，但反过来，为什么物理学也能创造新数学？隐痛可能在现实世界。

午夜电影地址撰文 | Ananyo Bhattacharya翻译 | 1/137

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图片着手：图虫创意永远以来，数学一直是物理学跨越的基础。1915年，当爱因斯坦发现，半个多世纪以来的地说念数学责任无缺地描摹了他的引力表面中的时空结构时，他救济广义相对论是数学的“着实成功”。他自后惊叹，在莫得任何应用讨论的情况下构想出的数学，怎样会“如斯令东说念主钦佩地适当现实对象”[1]呢？现今，将数学办事于物理学泛泛被以为是理所虽然的，这根植于它的发源。毕竟，数学是为了测量、量化和斡旋物理世界而发明的。在好意思索不达米亚，苏好意思尔东说念主发展了一种计数系统，留住了刻有乘法表的泥板。他们的贪图是什么？用于盘点货物和财产。在随后的几千年里，率先算作润滑政府和生意运转的器具，最终有了我方的人命。尽管数学膨胀到了如斯晦涩的综合畛域，以至于只消经过多年的锤真金不怕火才智掌合手，但数学仍链接组成物理学的伟大突破的基础。不外，最近场面发生了周折。当今，来自物理学的洞见和直观出东说念主预感地引颈了数学的突破。在20世纪的大部分时刻里，数学家们都在走我方的路，当今他们越来越多地从当然界的规章和模式中寻求灵感。停滞了几十年的畛域正待青年。致使形而上学家们也启动深入扣问，正如一位形而上学家斗胆指明的那样，为什么物理学在数学中被讲明是“没来由的成功”。这个问题的要津在于，主管寰宇活动的章程与东说念主类想维最综合的千里想之间，存在很大程度上未被斡旋的、令东说念主困惑的和长远的关连。为什么物理学——根植于斡旋诸如苹果和电子这类世界上的确凿事物——能为措置数学中一些最辣手的问题提供如斯有用的印迹？这些问题触及不可捉摸的东西，比如函数和方程。“比拟数学家，物理学家不大原宥严格的讲明，”法兰西学院（Collège de France）的数学家、菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）说。他暗意，有时这少量“让物理学家比数学家更快地探索数学畛域”。若是数学家倾向于深入地看望这片自豪的一小块地皮，那么物理学家更有可能快速地掠过这一很大程度上属于未知的大片区域。从这个角度来看，物理学家大要不测发现新的、强有劲的数学主见和关联，数学家则可以折回到这些主见和关联，试着讲明（或反驳）它们。

物理学给数学提供的营养

事实上，物理学引发数学的程度与科学本人一样陈腐。古希腊数学家和发明家阿基米德描摹了力学定律怎样引发了他的一些最垂危的数学发现。还有牛顿，他与他同期代的德国博学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在试图斡旋下降物体的通顺时，发展了一种全新的数学——微积分。但在20世纪中世，从物理学流淌来的新数学险些衰退了。物理学家和数学家都对对方那儿发生的事情不太感兴致。在数学界，一群有影响力的年青法国数学家，称为布尔巴基（Bourbaki）派系，试图使数学尽可能精准。他们竭力重新启动重建悉数这个词畛域，并将互助效用发表出来，以期促进改日的数学发现。与此同期，物理学家们欢乐地发展着草创性的目的，举例圭臬模子（Standard Model）——时于本日仍然是物理学家对于原子和亚原子世界的最好表面。对他们中的好多东说念主来说，数学只是一个便捷的器具，他们对布尔巴基派系所倡导的严肃的数学愿景不感兴致。然而，在已故的黎巴嫩裔英国几何学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）的教导下，双合法在进行一场妥协。凭借忽视的直观，再加上少量运说念，通常是菲尔兹奖得主的阿蒂亚，泛泛能注释到自后表面物理学家感兴致的畛域。“在1970年代中期，他启动敬佩表面物理学是迄今为止最有但愿的新想想着手，”与阿蒂亚互助的牛津大学荣休栽种、数学家尼格尔·希钦（Nigel Hitchin）在 2020年写说念。“从那时起，他就成为数学家和物理学家之间互动的促进者，玩忽物理学家提议的数学挑战，诈欺物理学想想讲明地说念数学戒指，并为物理学家提供他以为垂危但对他们来说不练习的当代数学实践。”数学物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）是阿蒂亚的永远互助者之一，他们于1977岁首度碰面。比阿蒂亚小20多岁的威滕自后成为弦论的前驱，弦论以为轻细的一维振动的弦是寰宇的基本组成部分，而不是圭臬模子中的那些粒子。弦论率先被誉为一种可能的“万物表面”，将会统一量子表面与爱因斯坦的引力表面，但迄今为止，可以说，弦论对数学中一些最综合的畛域——诸如代数几何和微分拓扑——的影响比在物理学中的更大。在这些畛域，威滕和其他弦论家也曾大要提议数学家自后才讲明的精准想到。举例，在1991年，物理学家坎德拉斯（Philip Candelas）、奥萨（Xenia de la Ossa）和他们的共事将弦论应用于摆设几何（Enumerative geometry）中一个已稀有十年历史的穷困。摆设几何是一个陈腐的数学分支，竭力于于野心几何问题的解的数量。最简便的问题比如，“有若干条线可以穿过一个平面上的两点？”（1条）；或者阿波罗尼乌斯（Apollonius）的闻名问题，“可以画出若干个与三个给定的圆相切的圆？”（8个）坎德拉斯与互助者大要使用弦表面中的器具来措置摆设几何中一个荒谬辣手的问题：野心卡拉比—丘（Calabi-Yau）流形中特定类型弧线的数量，这些奇怪的六维时局是弦论的中枢。他们的戒指将两种几何学关连起来，即“辛几何”和“复几何”，数学家们几十年来一直孤当场扣问这两种几何，以为它们无关。这种跨越——将两个被以为无关的畛域关连起来——在数学中被以为是一个“长远”戒指：你一忽儿可以使用一个畛域的器具来措置另一个畛域的问题，从而股东并加快了数学的跨越。

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辣手问题：物理学家菲利普·坎德拉斯与互助者使用弦论的器具措置了摆设几何中的一个辣手问题：野心卡拉比—丘流形（如图所示）中特定种类的弧线的数量。这些奇怪的六维时局是弦论的中枢。丨图源：Wikimedia Commons

只是几年后，即1995年，威滕提议了五个不同版块的弦论，每个版块都需要10维，都是他称之为“M表面”的单个11维主见化的不同方面。尽管M表面仍未得到阐明，但绘图不同表面之间的对应关系也曾导致了惊东说念主的数学发现。“嗅觉就像每个月弦论都在以前所未有的景色为数学家提供新的结构，”伦敦数学科学扣问所的数学物理学家何杨辉（Yang-Hui He）说。弦论是两个数学世界之间那种出东说念主预感的关系或“对偶性”（duality）的丰富着手，于今仍让数学家欢乐不已。何杨辉和他的互助者、通常来自伦敦扣问所的弦论家弗里德里克·卡塔（Federico Carta）在扣问最简便的卡拉比—丘流形类型（K3曲面）时，随机发现了名义的“同伦群”（homotopy group，在拓扑学顶用于对时局进行分类），与一种称为“Mathieu 24”的对称群之间的关系。两东说念主的发现揭示了纯数学中两个不同畛域之间出东说念主预感的关连——拓扑学、时局扣问以及当代代数中一个称为群论的畛域，该畛域触及物体所具有的对称类型。何杨辉谈到，为什么物理学会产生如斯道理道理的数学，这是一个“高深的问题”。存在大量种模式和结构可供数学家加以扣问，“但那些来自现实的（模式和结构）是咱们在某种程度上有直观的。”希钦暗意欢喜。“数学扣问不是诬捏产生的，”他说。“你不成为发明一个新表面而发明。你需要敬佩那里有一些东西需要看望。新的目的必须围绕着一些现实的不雅念，或者也许是某东说念主的不雅念。”这就带来一个问题，即物理学是否只是通过提供更激烈的探索动机和数学家元气心灵的焦点来津润数学。在对于世界应该怎样运作的直观和看似合理的至极的陶冶下，数学家有时可以在某个问题上获得比其他情况更快的弘扬。它还可以解释一个奇怪的事实：“灾祸的”物理学有时可以带来好的数学。举例，涡旋（vortex）表面是英国数学物理学家威廉·汤姆森（William Thomson），即开尔文勋爵的早期尝试，旨在解释为什么原子的种类相对较少。他将原子联想成旋转的环，可以打成犬牙交错的结，每个结对应不同的化学元素。在发现电子后，该表面被消灭了——但其数学导致了纽结（knot）表面的发展。而后，纽结表面成为纯数学家探索的沃土，并在流体能源学和斡旋像DNA这种缠结分子方面发现了令东说念主惊诧的应用。

寰宇是数学组成的？

对阿蒂亚来说，物理学和数学之间的奥密关系都归结为东说念主脑。“东说念主类是永远进化的居品，其中浩大的大脑是一个上风。这么的大脑是在物理世界中进化而来的，因此进化的成功是通过生理的成功来斟酌的，”他在 2018 年的一次采访中解释说。“因此，东说念主类大脑进化来措置物理问题，这需要大脑发展正确的数学。”要作念到这少量，大脑还必须适合识别和赏玩当然界中的数学模式。阿蒂亚致使在 2014年进行了一项大脑成像的互助扣问，该扣问得出论断，对于数学之好意思的体验与优好意思的音乐、艺术或诗歌一样，它们引发大脑的调换部分。这也许可以解释为什么物理学可以成为数学家的指路明灯：从扣问现实中产生的那种数学时常是咱们的大脑心爱的那种。2010年，在与希钦和那时在普林斯顿大学责任的荷兰表面物理学家罗伯特·迪格拉夫（Robbert Dijkgraaf）合著的一篇论文[2]中，阿蒂亚进一步强调了物理学在数学中的成功应用。然而，从那时起，试图斡旋这种情景的责任就很少了。最近从新谛视这个问题是一位形而上学家，博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼（Daniele Molinini）。2023年他发表在《英国科学形而上学杂志》（The British Journal for the Philosophy of Science）上的论文[3]，复兴了诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner）于1960年撰写的一篇泛泛被援用的著作，即《数学在当然科学均永诀理的有用性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。然而莫利尼尼出言无忌地复兴则是探讨“物理学在数学中的永诀理的有用性”（The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics）。他给出一个令东说念主惊诧的回答，一些物理定律可能像数学定理一样无可争议。他说：“咱们必须将对于现实世界的一些原则视为基本道理。”形而上学家们浩荡欢喜数学真谛成为一种“势必”，因为它们必须在悉数可能的世界中都是正确的。而对于当然的真谛，告诫事实，则是不同的——它们依情况而定。光以恒定的速率传播，但可以说在一个不同的寰宇中，它可能并非如斯。也即是说，岂论怎样，数学真谛在畴前和将来都是正确的。是否存在某些物理定律也以通常的景色成为“势必”？在他的论文中，莫利尼尼以为守恒定律可能即是这么的一条定律。在物理学中，系统的某些属性，举例能量或动量，不发生蜕变。举例，一个骑自行车的东说念主从山上目田滑行而下，将她的重力势能滚动为动能，但她和她的自行车所领有的总能量保持不变。莫利尼尼以为，若是这种守恒是“势必居品”，那也许可以解释阿基米德为何能通过力学的想考成功揣度出几何讲明的真谛性，不然难以解释这一豪举。在这种情况下，物理学和数学是吞并枚硬币的两面：两者都是正确的，因为它们都遵照调换的基本道理。另一种闻名的不雅点则是伽利略在17世纪初表述的，并泛泛受到数学家的拥护，即寰宇是用数学言语写成的。这个目的有着陈腐的发源，至少可以纪念到毕达哥拉斯和他的奴才者，但一个更晚近和顶点的版块是马克斯·泰格马克（Max Tegmark）的数学寰宇假说（mathematical universe hypothesis）——寰宇本人不仅由数学描摹，况且是由数学组成的。在泰格马克的论说中，咱们的寰宇只是大量个平行寰宇中的一个，数学的悉数无穷可能性——每一个定理、每一个讲明——都在这个多重寰宇的某个场所竣事了。这也难怪物理学引发了数学的新发现——物理学所描摹的现实，岂论怎样，归根结底都是数学的。“实证科学和数学之间存在着密切的关连，”悉尼大学扣问数学和物理学之间关系的形而上学家马克·科利文（Mark Colyvan）说。“咱们可以得出的一个论断是，不知因何，世界本人即数学。”然而，在这两种表述中，从物理学产生的数学应该非比寻常的丰富。然而已知物理学产生的数学只是所稀有学的一小部分（险些所稀有学可能都没那么道理道理）。寰宇透彻由数学组成并不成解释这个问题。莫利尼尼正在对一种流行的数学适用性的形而上学阐释发起挑战，即“映射”[4]（mapping），他以为这种阐释无法解释为什么好的数学可以从物理学中产生。映射表面以为，通过将物理主见[如质地或拆开（separation）]滚动为数学对象，举例牛顿万有引力定律的方程，可以使用它来野心某些东西，然后将其映射回物理属性——两个物体间的诱导力。但莫利尼尼质疑说，当东说念主们试图倒置它来解释数学是怎样从物理学中出现的时，映射历程就失效了。他说，形而上学家们对这个问题的兴致越来越大，他们一直关注为什么数学可以应用于实证科学的反问题，即为什么实证科学可以得到数学。“当代物理学为数学家提供了一大堆新器具和出东说念主预感的印迹，”何杨辉说。“改日，物理学和数学将需要更缜密地互助，以措置纯数学中的一些最大问题。”他暗意，罗伯特·朗兰兹 （Robert Langlands） 在 1960 年代构想的朗兰兹纲目（Langlands program）即是这么一个畛域，它泛泛被称为“数学的大统一表面”。据称，该纲目的一个分支，即几何朗兰兹纲目（geometric Langlands），最近由一支数学家团队措置，他们提议的讲明横跨五篇论文，长达800 页（编者注：可参阅《在监狱中萌发的数学大一统之愿景，离竣事又近了一大步》）。该讲明的中枢基于率先从共形场论（conformal field theory）中得出的洞见，共形场论是物理学的一个分支，是弦论过火他畛域的基石。何杨辉以为，数学家需要模仿更多的物理学来探索该讲明的含义，并在朗兰兹纲目的其他方面获得弘扬。通常，数学家们也曾诈欺物理学来尝试在黎曼假定（Riemann hypothesis）和BSD想到（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）问题上获得弘扬，它们是数学中两个最具挑战性的开放问题。何杨辉嗅觉，这两个畛域间的采集将是最终解开这些宏伟命题的要津。何杨辉说：“物理学和数学启动再次合二为一，就像它们在牛顿和高斯的时间一样。”他汲取过表面物理学家的锤真金不怕火，但越来越倾向于将物逸想想应用于纯数常识题。这是个迷东说念主的目的。寰宇的故事可以用数学的言语写成。但是，尽管这个故事看起来很好意思好，但有迹象标明，要想比物理学家已司斡旋得更多，将需要越来越奇特和复杂的数学器具，况且有些器具有待被发明。突破这两个畛域之间的壁垒可以为斡旋两边绽放新世界。

译者注

[1] “so admirably appropriate to the objects of reality?”这句话来自尊因斯坦1921年1月27日在柏林的普鲁士科学院发表的演讲，题为《几何学和告诫》（Geometry and Experience），原文用德语。

[2] 参见：Atiyah， Michael， Robbert Dijkgraaf， and Nigel Hitchin. "Geometry and physics." Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical， Physical and Engineering Sciences 368.1914 (2010): 913-926. http://doi.org/10.1098/rsta.2009.0227[3] 参见：Molinini， Daniele. "The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics." The British Journal for the Philosophy of Science 74.4 (2023): 853-874. https://doi.org/10.1086/715104[4] 参见：Bueno， Otávio， and Mark Colyvan. "An inferential conception of the application of mathematics." Noûs 45.2 (2011): 345-374. https://doi.org/10.1111/j.1468-0068.2010.00772.x

本文经作者授权翻译刊于《返朴》，译自Ananyo Bhattacharya， Why Physics Is Unreasonably Good at Creating New Math， 原文地址：https://nautil.us/why-physics-is-unreasonably-good-at-creating-new-math-797056/；

本文的一个更长的版块可见：https://ananyo.substack.com/p/why-is-physics-so-good-at-math。

作者简介

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Ananyo Bhattacharya 现任伦敦数学科学扣问所首席科学作者。在从事新闻责任之前，Ananyo在加利福尼亚州圣地亚哥的伯纳姆扣问所（Burnham Institute）担任医学扣问员。他领有牛津大学物理学学位和伦敦帝国理工学院卵白质晶体学博士学位。他曾在 Nature、Chemistry World 和 Research Fortnight 担任高档裁剪、The Economist科学记者。著有冯·诺依曼 （John von Neumann） 的列传《来自改日的东说念主》（The Man from the Future）。

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《来自改日的东说念主：约翰·冯·诺依曼传》（中信出书社，2023年9月），最近该书意大利语版和好意思国版获选了亚马逊年度典籍。

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